terça-feira, 21 de setembro de 2010

TEXTO PARA ESTUDO - RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO CAMPO MULTIPLICATIVO


Resolução de problemas no Campo Multiplicativo



O senso comum trata a idéia da multiplicação como sendo de adição de parcela iguais, no entanto “A conexão entre multiplicação e adição está centrada no processo de cálculo da multiplicação: o cálculo da multiplicação pode ser feito usando-se a adição repetida porque a multiplicação é distributiva em relação à adição.
8 x 4 = (4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4)
Do ponto de vista conceitual, existe uma diferença significativa entre adição e multiplicação, ou seja, entre o raciocínio aditivo e o raciocínio multiplicativo.

Raciocínio aditivo: o todo é igual à soma das partes.
Se quisermos saber o valor do todo, somamos as partes: 3 + 4 = ....
Se quisermos saber o valor de uma parte, subtraímos a outra parte do todo. 7 – 3 = ....
Se quisermos comparar duas quantidades, analisamos que parte da maior quantidade sobra se retirarmos dela uma quantia equivalente à outra parte. 4 – 3 = 1


Raciocínio multiplicativo: Relação fixa entre duas variáveis (duas grandezas ou duas quantidades). Qualquer situação multiplicativa envolve duas quantidades em relação constante entre si.
Exemplo:
Uma caixa de bombons contém 25 bombons, quantos bombons há em cinco caixas?
Variáveis: números de caixas e números de bombons
A relação fixa: 25 bombons em cada caixa
Tânia comprou 3 metros de fita. Cada metro custa RS 1,50. Quanto pagou ao todo?
Variáveis: metro e reais
A relação fixa: R$ 1,50 o metro...”
É necessário considerar a multiplicação como um instrumento importante na resolução de problemas de contagem, além de oferecer a oportunidade às crianças de terem o primeiro contato com a proporcionalidade.
As situações didáticas foram selecionadas de modo a permitirem que os alunos ampliem o trabalho de exploração com diferentes significados do campo multiplicativo: proporcionalidade, comparação multiplicativa ou divisão comparativa, combinatória e configuração retangular.

Proporcionalidade
1) Joana vai comprar três caixas de paçoca. Uma caixa custa R$ 12 reais. Quantos reais Joana gastará para comprar as paçocas?
2) Na farmácia havia a seguinte oferta: leve 3 sabonetes e pague R$ 2,00. Márcia levou uma dúzia de sabonetes, quanto ela pagou?
3) Sandra pagou R$ 24,00 na compra de pacotes de meias que custavam
R$ 4,00 cada um. Quantos pacotes de meias ela comprou?
4) Sandra pagou R$ 12,00 por 4 pacotes de balas. Quanto custou cada pacote?




Comparação
1) Nélson tem R$ 75,00 e Lílian tem o dobro. Quanto tem Lílian?
2) Joselena tem 25 figurinhas e Vivian tem 6 vezes mais. Quantas figurinhas tem Vivian?
3) Fernando tem 42 anos. Sabendo que ele tem o dobro da idade de seu irmão, quantos anos tem seu irmão?



Combinatória
1) Para fazer vitamina tenho 6 tipos de frutas e posso bater com água, leite ou laranja. Para cada vitamina usarei uma fruta e um tipo de líquido. Quantos sabores de vitaminas diferentes eu posso fazer?
2) Numa festa foi possível formar 35 pares diferentes para dançar. Se havia 5 rapazes e todos os presentes dançaram, quantas moças estavam na festa?



Configuração retangular
1) No anfiteatro de minha escola, as cadeiras estão dispostas em 8 fileiras e 9 colunas. Quantos lugares há no anfiteatros?
2) Em um auditório há 64 cadeiras. Elas estão dispostas em 8 fileiras. Quantas são as colunas?
Na organização do trabalho de sala de aula é importante a escolha de problemas que cumpram o papel de propiciar as oportunidades aos alunos entenderem os diferentes significados da multiplicação e da divisão. É a variedade das propostas didáticas que irá garantir a ampliação dos conhecimentos se:
* Resolverem problemas colocando em jogo seus saberes sobre diferentes significados do campo multiplicativo, comparando modos de resolução, registrando de forma clara e comunicando oralmente suas estratégias e soluções, argumentando e escutando os argumentos dos colegas, trocando idéias e corrigindo erros e equívocos;
* Jogarem para desenvolver conduta estratégica, aprender a antecipar para errar menos, aumentar a atenção e a concentração, formular hipóteses;
* Construírem as tábuas, utilizando estratégias de armazenamento e recuperação de informações para realizar o cálculo, perceber a propriedade comutativa e algumas regularidades, tais como: o dobro, a metade, resultados terminados em zero, etc.

*fonte: Guia de Orientações Didáticas - 3 série (SEESP)

quarta-feira, 8 de setembro de 2010

DICA LITERÁRIA


A Cicatriz
Ilan Brenman
Companhia das Letrinhas



Silvinha caiu da cama no meio da noite e tomou um sustão ao saber que precisaria ir ao hospital para que um médico costurasse seu queixo. Mas como assim? O que será que iria acontecer com ela?

Conversando com os pais, Silvinha descobre que o que vai ganhar é uma cicatriz - e, o mais impressionante, que ela ficará para sempre no queixo dela. A novidade deixa a menina tão empolgada que ela resolve investigar as cicatrizes de todos os parentes.

E assim, a partir de seu machucado, Silvinha se põe a pensar sobre a passagem do tempo, sobre as marcas dos acontecimentos na vida das pessoas, e vai conhecer histórias interessantíssimas dos avós, tios, primos e primas.

Ilustração: Ionit Zilberman







sexta-feira, 3 de setembro de 2010

TEXTO PARA ESTUDO - O TRABALHO COM DIFERENTES TIPOS DE CÁLCULO


Por Que Trabalhar Com Diferentes Tipos De Cálculos?


Nas situações da vida cotidiana que exigem cálculos, as pessoas lançam mão de diferentes formas de calcular: podem usar uma calculadora e com isso conseguir um resultado exato; podem usar lápis e papel e utilizar os algoritmos ensinados na escola; podem obter uma aproximação do resultado, estimando seu valor; ou podem realizar a operação mentalmente, por meio de estratégias diversas.
A escolha de um ou outro método depende da situação em que a pessoa se encontra, do grau de habilidade que apresenta em cada modalidade de cálculo, dos instrumentos de que dispõe no momento, da necessidade ou não de resultado exato e dos próprios números envolvidos.
Durante um período considerável do século passado, o ensino dos algoritmos das quatro operações fundamentais ocupava um papel central e primordial nas aulas de matemática do ensino primário e as outras modalidades de cálculo não eram bem aceitas. Havia uma razão para isso: a inexistência ou dificuldade de acesso às calculadoras exigia que as pessoas tivessem algum recurso que lhes permitisse fazer operações com resultados corretos, independente de sua maior ou menor habilidade com números. O ensino dos algoritmos era, então, realizado como se fosse um bolo do qual se dá a receita: uma sequência clara de passos, que deve ser seguida em uma ordem predeterminada e que pode ser aplicada a qualquer número - A definição de algoritmo, proposta por Knuth na Scientific American, em 1977, é: “um conjunto de regras para obtenção de um determinado resultado a partir de dados específicos e através de passos descritos com tal precisão que poderiam ser executados por máquinas”. Nesse tipo de ensino, não cabiam explicações sobre os porquês dos diferentes passos ou das regras: “Por que se começa a somar da esquerda para a direita?”, “Na multiplicação, por que se deixa um espaço vazio, à direita, quando se está operando com o segundo algarismo?” “Por que na divisão realizamos o procedimento da esquerda para a direita, se em todas as outras operações trabalhamos da direita para a esquerda?”. Muito provavelmente, essas perguntas nem eram formuladas, pois o próprio modo de ensinar não estimulava questionamentos desse tipo. Em compensação, a utilização do algoritmo em operações matemáticas organiza os passos, facilita o registro e a conferência dos resultados, e pode ser ensinada por repetição. Muitas pessoas tornaram-se ágeis nas operações ensinadas dessa forma, embora com poucas condições de calcular de qualquer outra maneira.
Por outro lado, indivíduos com maior dificuldade em seguir tais procedimentos acharam-se excluídos.
Mas, e hoje em dia, quando as calculadoras se tornaram de tão fácil acesso, mais baratas e encontradas em todos os lugares? Qual o sentido de continuar ensinando a resolver operações com o uso dos algoritmos convencionais?
Realmente, não há como negar que, atualmente, em atividades cotidianas e profissionais, muito menos operações são realizadas com a utilização dos algoritmos convencionais, com lápis e papel, do que em épocas anteriores ao advento da calculadora! Quando se precisa operar com números grandes para obter resultados exatos, esse é o método mais escolhido. Mas, e nas operações básicas do dia a dia? E naquelas em que precisamos apenas ter uma ideia do resultado, saber se o dinheiro que temos é suficiente para fazer uma compra, por exemplo? Naquelas em que precisamos de um resultado rápido e direto?
Esse é o motivo que tem levado os educadores matemáticos, já há algum tempo, a insistir na necessidade de a escola incorporar em seus programas de matemática, desde o Ensino Fundamental, outros tipos de cálculo, incentivando-os, valorizando-os, estimulando a troca de estratégias diversas entre os próprios alunos.



Quais seriam esses diferentes tipos de cálculos?



1) Usando calculadora
Neste caso, normalmente o que se busca é uma resposta exata. Contudo, mesmo que a máquina realize a operação pela pessoa, é necessário saber usá-la, conhecer seus recursos, seu potencial, saber interpretar o que está sendo pedido, que operações acessar, que teclas digitar e também interpretar os resultados que aparecem no visor. Não é rara, por exemplo, a confusão entre vírgula e ponto no momento de ler o número fornecido como resposta. Exemplo: o aluno vê o número 1.234 e pensa em mil duzentos e trinta e quatro, ao invés de um inteiro e duzentos e trinta e quatro milésimos. É necessário que se use a calculadora com alguma criticidade e não de forma absolutamente mecânica, para que possa detectar erros óbvios, que têm a ver com digitações erradas. A maneira mais atenta para se fazer operações com a calculadora precisa ser desenvolvida na escola e tem relação direta com a capacidade dos alunos em realizar estimativas de resultados. Se, ao utilizar a máquina para 1.230 : 15, o aluno já houver refletido que deverá encontrar algum valor da ordem das dezenas, próximo de 100, porque pensou em 1.500 : 15, ele refará a operação se obtiver, no visor, o resultado 8,2 - por não ter pressionado direito o 0 do número 1.230, ao digitá-lo.
Com isso, estamos chamando a atenção para dois pontos. Primeiro: seria importante trabalhar com a calculadora nas escolas, para um aprimoramento de seu uso, com exploração mais adequada de seus recursos e características. Segundo: o uso da calculadora justifica e pede um trabalho cuidadoso com estimativas, aproximações e cálculo mental, estes sim são objetivos do material que ora apresentamos.
O professor pode também construir propostas didáticas com o uso da calculadora para produzir escritas numéricas: primeiro porque as crianças sentem certo fascínio por esse tipo de equipamento; segundo, porque a própria atividade faz os alunos refletirem sobre o que sabem a respeito da escrita dos números, principalmente sobre o valor posicional – portanto, a calculadora é um bom instrumento para resolver problemas.



2) Usando algoritmos
Esta modalidade é a que continua sendo privilegiada na escola: o ensino de algoritmos, especialmente dos algoritmos convencionais. Seu uso, fora do contexto escolar, se dá quando precisamos de um resultado exato, não dispomos de calculadora e os números são grandes, dificultando o cálculo mental. Não se está propondo que esse tipo de cálculo seja extinto, que se pare de ensiná-lo, pois se trata de um recurso interessante por agilizar as operações matemáticas, servir para qualquer extensão de número, possibilitar um raciocínio organizador e seguro para o aluno.
Contudo, ainda que os algoritmos ensinados hoje em dia sejam os mesmos que os ensinados a nossos avós, a forma de ensino não pode mais ser a mesma. Hoje, já não parece adequado ensiná-los como uma receita, com passos a serem seguidos, sem que se compreenda cada uma das ações envolvidas. É mais significativo e estimulante que sua lógica seja construída junto com os alunos e que outros algoritmos, eventualmente menos ágeis, mas com significado mais claro, sejam trabalhados antes.
Uma das consequências do ensino dos algoritmos, do modo como se realizava antigamente, era levar os alunos a uma concepção errônea de que a matemática é única, de que existe apenas um procedimento correto para se fazer cada coisa, e que essa forma independe da cultura, da época, dos povos ou dos valores. Apresentar aos alunos outros algoritmos, diferentes daqueles com os quais estão acostumados, elaborados por outros povos, pode ser bastante enriquecedor, no sentido de perceberem que há possibilidade de criação no campo da matemática e, mesmo, que é possível escolher algoritmos entre diversas opções existentes.
Também é importante ressaltar que, mesmo usando algoritmos, é necessário saber alguns cálculos simples, mentalmente: a tabuada da multiplicação e as adições simples de números entre 1 e 9, por exemplo. Estes podem ser simplesmente decorados, ou podem ser construídos e memorizados pouco a pouco por meio de jogos e atividades lúdicas.
Não é demais lembrar que, da mesma forma que no cálculo realizado com a calculadora, a estimativa é um importante recurso de controle do resultado obtido por meio do algoritmo, e deve ser usada conjuntamente com este.




3) Usando cálculo mental
A expressão “cálculo mental” pode ser entendida em contraposição ao cálculo que se realiza usando lápis e papel, ou seja, seria o cálculo feito integralmente “de cabeça”, mas também pode ser entendida como cálculo rápido, ágil. Na verdade, ao nos referirmos a “cálculo mental”, não estamos usando nenhuma dessas duas acepções do termo e sim ao cálculo que se faz, sem seguir, um algoritmo único, predeterminado. Trata-se de um cálculo que se faz escolhendo a melhor estratégia de acordo com os números envolvidos na operação e que pode, inclusive, contar com apoio escrito. Os procedimentos usados fundamentam-se nas propriedades das operações e no sistema de numeração, de modo que sua utilização também contribui para a ampliação da compreensão de tais conteúdos.
Estamos falando de um “cálculo pensado”, em oposição a um “cálculo automatizado”.
Mesmo essa contraposição, entretanto, é relativa. Para que um aluno possa pensar sobre a operação 28 + 17, utilizando o recurso de decompor o 7 em 2 + 5, para então operar 20 + 10 + (8 + 2) + 5, já que 8 + 2 = 10, precisa ter o resultado dessa operação armazenado em sua mente. Assim como 20 + 10 + 10 + 5, é necessário que certas operações, como adições que resultam 10 e adições envolvendo múltiplos de 10, já façam parte de um conjunto de cálculos automatizados pelo aluno e que possam ser usados como instrumentos, não precisam mais ser refletidos. Em outras palavras, o cálculo mental se torna mais e mais eficiente, na medida em que o aluno amplie os cálculos automatizados – memorizados, que tem disponíveis e sobre os quais não precise refletir. O que é pensado em um determinado momento da escolarização passa a ser instrumento em uso, em outra etapa e assim sucessivamente. Nesse sentido, a tabuada, por exemplo, deve ser compreendida, construída junto com os alunos, ter suas características e regularidades exploradas, mas, em etapa posterior, precisa ser efetivamente memorizada, para passar a ser usada como recurso para outros cálculos.
Outro aspecto que merece atenção é a formalização e o registro dos procedimentos. Não é rara a situação em que registrar com linguagem matemática o procedimento desenvolvido em um cálculo seja mais difícil do que o próprio cálculo e, para fugir da necessidade de registrar, o aluno acabe preferindo o algoritmo, no qual os procedimentos já incluem a forma de registrá-los. É importante, então, que se exercite o “explicar como pensou” de formas variadas, por meio de desenhos, esquemas, por escrito, ou mesmo falando!
Em síntese, é importante que o trabalho com cálculo mental considere dois tipos de atividades, que ocorram simultaneamente: aquelas que visam à memorização de um repertório de cálculos, que serão usados em outros mais complexos, e aquelas que visam à aprendizagem de cálculos pensados, através de um processo de construção, compreensão e comparação de diferentes procedimentos usados pelos alunos. Para ambos objetivos, o jogo pode ser considerado uma atividade privilegiada.




4) Fazendo estimativas - ou cálculos aproximados
A estimativa é o recurso utilizado para se chegar a um valor aproximado, através do cálculo mental. No dia a dia, são muito frequentes as situações em que não há necessidade de se saber o resultado exato de uma operação, pois apenas precisamos ter uma noção de determinado valor. Por exemplo, para decidir se vamos fazer uma compra, à vista ou a prazo, não é necessário saber exatamente o valor a prazo, mas ter uma ideia, que permita compará-lo com o preço à vista.
Além disso, ter também um bom domínio dos arredondamentos para dezenas ou centenas exatas, pois as aproximações permitem checar resultados de operações feitas com algoritmos ou calculadoras. Com isso, o aluno ganha mais autonomia e controle sobre seus próprios processos, não precisando sempre do professor para apontar-lhe seus erros.
O uso de estimativas deve ser constante em sala de aula: antes de realizar uma operação, usando calculadora ou algoritmo escrito, é interessante pedir aos alunos que estimem “próximo de quanto” será o resultado; na resolução de um problema, estimar seu resultado; na análise de uma resposta, verificar se é plausível. Na socialização das estimativas dos alunos, é importante discutir o “quão próximo” do resultado exato se precisa chegar. Isso depende do contexto e também dos números envolvidos e que, nesse caso, não há apenas uma resposta certa. Por exemplo, ao estimar o resultado de 485 + 324, um aluno pode pensar: “A centena exata mais próxima de 485 é 500, e de 324 é 300; então, uma boa aproximação para esse resultado é 800”. Outro pode pensar:
“Para obter um resultado aproximado, vou me preocupar apenas com as centenas; então uma aproximação possível é 400 + 300 = 700”. E, um terceiro, “500 + 500 = 1000, então, como 485 está bem próximo de 500, o resultado final vai ser menor que 1.000 e maior que 500”. Nenhuma delas está errada! Nem sempre a aproximação ao valor exato é o que deve ser valorizado. O importante é discutir as estratégias possíveis frente à necessidade daquela estimativa específica.




Como trabalhar com diferentes tipos de cálculo em classe?
O trabalho com essas diversas modalidades de cálculo exige do professor uma determinada condução das aulas, diferente daquela empregada ao se ensinar apenas algoritmos.
Para trabalhar com cálculo mental e estimativas, é importante que os alunos sejam estimulados a relatar os seus procedimentos de cálculo, a maneira como estão pensando, mesmo que não saibam registrá-la adequadamente. Os colegas devem se habituar a ouvir as estratégias uns dos outros e, eventualmente, alterar as suas próprias, quando houver solução mais eficiente.
Nos momentos de atividades individuais, em duplas ou grupos, o professor deve circular pela classe, identificando os alunos com maiores dificuldades, auxiliando-os, agrupandoos com colegas com quem tenham boa interação e, eventualmente, propondo atividades diferenciadas, com nível de desafio mais adequado às suas habilidades no momento. No caso das atividades propostas nestas orientações, o professor deve sentir-se à vontade para repeti-las quantas vezes forem necessárias, com algumas crianças, até que elas tenham adquirido mais firmeza, antes de passar para outras, mais complexas.
É bastante útil, também, que o professor solicite constantemente que os alunos registrem as conclusões gerais a que o grupo chegou, com exemplos de estratégias. Esse registro pode até ser feito em uma parte separada do caderno, destinada especificamente para esse fim. Os estudantes devem ser estimulados a consultar esses registros com frequência, de maneira a facilitar na reconstituição de determinada estratégia.
Com relação às atividades, sugerimos que, sempre que possível, sejam propostos jogos, pois a sua utilização em aulas de matemática auxilia no desenvolvimento de diversas habilidades, não só de cálculo – mental ou não –, mas na resolução de problemas em geral; leva o aluno a observar, levantar hipóteses, tomar decisões, argumentar, investigar a melhor jogada, analisar as regras, aprender com o erro. Mas, usar o jogo como recurso metodológico exige certos cuidados. O primeiro é que o professor mantenha-se bastante atento para perceber se o nível de desafio do jogo em questão está adequado ao seu grupo de alunos, se os está instigando. É necessário também que se tenha a consciência de que, utilizado uma única vez, o jogo poderá não produzir a aprendizagem esperada. Essa vez servirá para que os alunos conheçam as regras, experimentem o jogo. Para ser efetivo, além se ser jogado mais vezes, é necessário conversar sobre quais foram os obstáculos, que problemas determinadas situações colocaram, quais as estratégias mais eficazes. Muitas vezes, vale a pena, também, pedir que os alunos escrevam sobre o jogo: quais são as regras, que dificuldades tiveram, o que aprenderam com ele, que dicas podem dar, ou simplesmente, um registro das etapas, dos pontos parciais.
É extremamente necessário que, tanto professor quanto alunos, tenham clareza de que esse é um instrumento de aprendizagem e não uma aula livre, de puro lazer, ainda que o caráter lúdico seja um componente dessa atividade.


Vale lembrar o papel do erro em aulas desse tipo. Os alunos serão encorajados a participar, pensar e propor soluções, na medida em que seus erros sejam vistos como tentativas válidas, caminhos para a reflexão, formas de evoluir de um raciocínio para outro, mais adequado.
Não se trata de presumir que não exista nada errado, ou que qualquer colocação do aluno será interessante, mas sim, de realmente utilizar o erro como instrumento de aprendizagem.
Isso se faz problematizando as ideias que o aluno traz, colocando contraexemplos, solicitando que explique como chegou a determinadas conclusões. Quando o próprio aluno percebe aquilo que errou, ele aprende e cresce.




*fonte: texto retirado do material da III Jornada de Matemática 2010 - SEESP

JOGO PARA TRABALHAR A MULTIPLICAÇÃO


Carta na Testa



Objetivo:
Desenvolver a tabuada de multiplicação e compreender a divisão como operação inversa da multiplicação.



Planejamento:
• Organização dos alunos: agrupados em trios, de modo que dois alunos fiquem sentados frente a frente e o terceiro – o juiz – fique sentado de modo que possa ver os dois.
• Material: um baralho com as cartas de ás a 10 de dois naipes, para cada trio, ou 20 cartões numerados dessa forma. No caso de usar baralho, o ás valerá 1.



Encaminhamento:
• Os alunos que estão sentados frente a frente recebem, cada um, um conjunto de cartas de ás a 10, que devem deixar viradas para baixo, na sua frente.
• Ambos viram a primeira carta de seu monte e, sem a olhar, colocam-na na testa, de forma que, tanto seu oponente, quanto o juiz, possam vê-la.
• O juiz então diz o resultado da multiplicação dos dois valores.
• Cada um dos competidores deve tentar descobrir qual é a carta que tem na testa. Aquele que descobrir primeiro, ganha cinco pontos.
• Propor cinco jogadas com essa mesma formação e depois outras tantas com a mudança da função de cada um, no trio, até que todos tenham desempenhado a função de juiz.
• Se o juiz errar a operação, perde cinco pontos.
• Se for percebida muita disparidade de condições entre os competidores de algum trio, pode-se optar por alterar os grupos, procurando deixá-los mais ou menos homogêneos.
• É interessante realizar novamente esse jogo, estimulando os alunos a estudar a tabuada em casa, para apresentar melhor desempenho na próxima rodad
a.